Sur le sentier des mathématiques pour MAT1300

Description

Les thèmes couverts dans ce volume sont :

• • • les permutations;
    • les polynômes;
    • les éléments de logique mathématique;
    • la théorie des ensembles;
    • les relations et fonctions;
    • les dénombrements;
    • les preuves par induction;
    • les propriétés arithmétiques des nombres entiers;
    • les congruences modulo n;
    • les classes d’équivalences;
    • les propriétés des nombres rationnels, des nombres réels et des nombres complexes.

Le but de ce volume est donc de développer la maturité des étudiants en les préparant à suivre avec succès d’autres cours comme structures algébriques, algèbre linéaire, analyse, etc.

Les nombres entiers naturels et l’ensemble des nombres entiers

L’ensemble $\mathbb{N}$ des nombres naturels

\[\mathbb{N}=\{1,2,3,…\}\]

c’est l’ensemble que l’on obtient en ajoutant 1 à 0, puis en ajoutant 1 à 1, puis en ajoutant 1 à 2, et ainsi de suite. Notons $\mathbb{Z}$, l’ensemble des nombres entiers,

\[\mathbb{Z}=\{. .. ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .\}\]

c’est l’ensemble que l’on obtient en soustrayant deux nombres naturels quelconques de $\mathbb{N}$.

La permutations

Le concept de permutations, en mathématique, traduit l’idée de réorganisation d’objets aux caractéristiques apparentes. Un déplacement d’éléments distincts placés dans un certain classement, les permutations, correspond à un changement de l’ordre de ces objets.

Par exemple: Soit X = {1,2,3} nous avons six permutations possible de X

\[\begin{array}{rclcl}
I=\theta_1 = \left( \begin{array}{ccc}
1 &2 &3\\
1 &2 &3
\end{array} \right) ,&\theta_2 = \left( \begin{array}{ccc}
1 &2 &3\\
1 &3 &2
\end{array} \right),&\theta_3 = \left( \begin{array}{ccc}
1 &2 &3\\
2 &1 &3
\end{array} \right) \; ,\\[18pt]
\theta_4 = \left( \begin{array}{ccc}
1 &2 &3\\
2 &3 &1
\end{array} \right) ,&\theta_5 = \left( \begin{array}{ccc}
1 &2 &3\\
3 &2 &1
\end{array} \right) ,&\theta_6 = \left( \begin{array}{ccc}
1 &2 &3\\
3 &1 &2
\end{array} \right).
\end{array}\]

Les polynômes

Après avoir défini ce que sont polynômes, il importe de définir ce qu’est une application polynomiale. Car il faut être sur ses gardes, ce sont deux notions complètement différentes.

Les polynômes sont des expressions algébriques formées essentiellement de multiplications et d’additions de constantes et d’indéterminées (majuscule X).

Les dénombrements

Nous avons introduit quelques techniques de dénombrements. Nous supposerons que tous nos ensembles ont un nombre fini d’éléments.Les dénombrements, c’est compter le nombre d’éléments. Le nombre d’éléments d’un ensemble A est noté #A ou bien |A|, ce qui se lit cardinalité de A.

Les nombres rationnels

Pour obtenir $\mathbb{Q}$, l’ensemble des nombres rationnels, c’est essentiellement quand on veut diviser deux nombres quelconques de $\mathbb{Z}$, on doit ajouter à $\mathbb{Z}$ de nouveaux éléments. «Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent s’exprimer comme le quotient de deux entiers relatifs» (Wikipédia).

Caractéristiques

Tous les exercices sont résolus en appendice, mais les étudiants qui utilisent ce volume sont priés de faire preuve de maturité quant à l’usage du solutionnaire. C’est en forgeant qu’on devient forgeron, dit l’adage. Eh bien, les étudiants sont invités à forger leurs solutions et à les comparer aux solutions proposées.

Si on n’a aucune idée sur la façon de résoudre un problème, on pourra lire le début de la solution proposée pour ensuite poursuivre sur sa lancée en volant de ses propres ailes.

Pour une partie de ce volume, Claude Levesque, s’est inspiré des notes de cours Algèbre classique du professeur Claude Lemaire, et il tient beaucoup à le remercier pour sa collaboration. Il s’est également inspiré à quelques reprises des volumes cités dans la bibliographie.

Merci aussi au professeur Marie-Louis Lavertu et à monsieur Carlos Dombeu pour le soin qu’ils ont apporté lors de la lecture des premières ébauches du manuscrit.

Il beaucoup profité des nombreuses suggestions du professeur Jean-Marie De Koninck, à qui il exprime toute sa reconnaissance

Référence bibliograhique

[D2] DAMPHOUSSE, P. Découvrir l’arithmétique, Ellipses, 2000, (coll. Opuscules), 128 pages.

[D3] DAMPHOUSSE, P. L’arithmétique ou l’art de compter, Le Pommier, 2002, (coll. Quatre à quatre), 151 pages.

[D’An-W] D’ANGELO, J. P. and WEST, D. B. Mathematical Thinking : Problem Solving and Proofs, 2nd edition, Prentice Hall, 2000, xx + 412 pages.

[ElK] EL KAABOUCHI, A. Le succès en algèbre en fiches-méthodes, Ellipses, 2002, 233 pages.

[L] LÉVINE, A. Premiers pas en prépa : Algèbre, Ellipses, 2002, 237 pages.

[Ma] MADER, A. – Notes de cours -, Département de mathématiques de l’University of Hawai‘i, communications personnelles.

[Mo] MONIER, J.-M. Algèbre I, Cours et 600 exercices corrigés, 2e édition, 2000, xvi + 556 pages.

[P-L] PILIBOSSIAN, P. et LECOUTRE, J.-P. Algèbre : Rappels de cours, exercices et problèmes résolus, Dunod, 1998, xiv + 162 pages

[W-A-C-M] WARUSFEL, A., ATTALI, P., COLLET, M., GAUTIER, C. et NICOLAS, S. Mathématiques : Arithmétique, cours et exercices, Vuibert, 2002, xii + 196 pages.

[Z] ZIGLON, R. Vers les structures : Nouvelle pédagogie de la mathématique, Hermann, 1971, (coll. Formation des enseignants), 299 pages.

Sur le sentier des mathématiques pour MAT1300 | Loze-Dion éditeur

Claude Levesque, Ph. D. (Illinois Institute of Technology), est professeur au département de mathématiques et statistique de l'Université Laval. Il est spécialiste en algèbre, en cryptographie et en théorie des nombres.  

URL: https://www.lozedion.com/produit/sur-le-sentier-des-mathematiques/

Auteur: Claude Levesque

Auteur: L'Éditeur

ISBN: 978-2-923565-37-8

Date de publication: 2007-11-24

Format: https://schema.org/EBook

Note de l’éditeur/éditrice :
4.25